[高微]Stone | 社區大學終身學習網
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2012年5月14日—所以我一直希望能夠用比較淺白的方式來介紹高等微積分中的幾個重要定理。如果定理的證明是相當容易且是你必須要學會的技巧,那麼我就會把它包含在內文裡頭 ...
![[高微]Stone](https://i.imgur.com/1IaoGs0.jpg)
很多人覺得學習高等微積分有困難,我想,很多人是迷失在高等微積分的證明理頭,而忽略了認識高等微積分的本質。所以我一直希望能夠用比較淺白的方式來介紹高等微積分中的幾個重要定理。如果定理的證明是相當容易且是你必須要學會的技巧,那麼我就會把它包含在內文裡頭,如果定理的證明並非必要理解,我就不會把定理的證明含在裡頭。今天要來跟大家談高等微積分的另外一個重要的定理,Stone-Weierstrass定理。這個定理的證明其實相當漂亮,但我給初學者的建議是這個定理的證明先跳過去,先學會如何使用這個定理,有空閒時,或者是你將來有打算繼續走數學時,在來研讀這個證明。(因為定理證明的技巧並不常用)在談這個定理之前,我先來談Weierstrass逼近定理。
Weierstrass定理Weierstrass定理是一個相當有用的定理,想法也很值觀。我們在學微積分的時候,我們最先學到的連續函數是多項式函數,而多項式函數是最容易理解,也是最簡單的連續函數。於是我們開始去思考著,是不是可以用多項式來逼近任意的連續函數呢?進而利用多項式來研究一般的連續函數的性質呢?所以,當你在談"逼近"的時候,你就必須賦與距離的概念,有了距離的概念,你才可以談甚麼叫"逼近"。
設定:假設是實軸上的有界閉區間(bounded closed interval),並且令表示所有定義在區間上的實值連續函數所構成的集合。為了方便起見,我們簡寫為這個集合他具有以下特質:
(1)它是一個實向量空間。(vector space over )
(2)他也是一個交換環。(commutative ring)。
換句話說,他是一個over 的交換代數(commutative algebra)。
如果任給連續函數,我們定義的範數(norm)
那麼就構成了一個賦範空間(normed space)。賦範空間有一個很自然的距離結構,任給連續函數我們定義
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